初三 一元2次方程完了是什么内容？

初三一元二次方程完了是指初三数学中学习的内容之一，主要是学习一元二次方程的概念、解法和应用。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。学习一元二次方程完了的内容主要包括以下几个方面：1. 一元二次方程的定义：了解一元二次方程的基本概念、形式和性质。2. 一元二次方程的解法：学习解一元二次方程的一般步骤和方法，如因式分解、配方法、求根公式等。3. 一元二次方程的判别式：研究一元二次方程的判别式（b^2 - 4ac）的含义和作用，可用来判断方程的根的情况。4. 一元二次方程的应用：了解一元二次方程在实际问题中的应用，如抛物线的图像、自由落体运动等。通过学习一元二次方程这一内容，可以提高学生的代数运算能力和问题解决能力，为后续学习数学打下基础。

一元二次方程是几年级学的

初一

九年级上册数学《一元二次方程》重点知识整理！

今天王老师为同学们准备了九年级上册数学一元二次方程应用重点知识，收藏起来看一看！

一元二次方程应用

一元二次方程的基本内容

现有一个长方形宽为x米，长比宽的2倍少3米，那么当面积为10平方米时宽是多少？

根据长方形的面积公式我们能够得到：（2x-3)·x=10，化简后，2x^2-3x-10=0。在数学中，我们把这类式子叫做“一元二次方程”。

1、方程满足的条件

●（1）等号两边都是整式

●（2）只含有一个未知数

●（3）未知数的最高次数是2的方程

2、方程的形式

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，

特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

3、方程的性质

（1）一元二次方程根的判别式：当ax2+bx+c=0(a≠0)时，Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式。

当Δ>0有两个不等的实根;

当Δ=0有两个相等的实根;

当Δ无实根。

注意：当Δ≥0有两个实根，需要根据题目要求，验证这两个实根是否相等。

（2）方程的两根与方程系数的关系：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，方程两根为x1，x2时，方程为：x2+(x1+x2)X+x1x2=0。

一元二次方程的应用

01 方程解法

一元二次方程的解是以降次为目的，以求解方法为主要手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解。一元二次方程的一般解法有以下几种：

解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），但必须熟练掌握。解一元二次方程选择方法的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法。

02 根的判别式

利用一元二次方程根的判别式，确定方程字母系数的值时候，要注意二次项系数不为零这个隐含条件。

主要考察内容：　

（1）不解方程，应用根的判别式，判断一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由判别式逆推参数的取值范围

（3）分类讨论：如果方程没有支出二次方程和根的情况，一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程可能是一元一次方程，如果二次项系数不为0，一元二次方程可能有两个相等或不相等的实数根以及无实数根。

（4）一元二次方程根的判别式与整数解的综合

03. 实际问题

列一元二次方程解实际应用的步骤：

审：审题目，分清已知量、未知量、等量关系

设：设未知数，有时会用未知数表示相关的量

列：根据题目中的等量关系，列出方程

解：解方程，注意分式方程需要检验，将所求量表示清晰

验：检验方程的解是否满足题目条件，注意要使其实际问题有意义答：写出答案，切忌答非所问

三类常见问题：

1、增长率的等量关系

增长率=（正常量/基础量）*100%

设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b。当m为平均下降量时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a（1-m）n=b。

2、利润的等量关系

利润=售价-成本

利润率=（利润/成本）*100%

这类题的难点就在于同学不清楚价格变化和销售量变化之间的关系，不管你运用哪种解题方法，能够清晰解析出题目的各个变量之间的关系，才是重中之重。

3、几何问题等量关系

这类问题主要根据几何图形的性质、特征、定理或公式等来寻找等量关系，常与三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧。

一元二次方程是初中数学的重要基础知识，也是考试中的热门考点。

它的解法灵活多样，解题中考虑的因素也较多，要想准确、快速的突破该点，必须对其限定条件考虑周全，多多练习！

一元二次方程是什么时候交的的？

一元二次方程是什么时候学习的？

要看是什么地方的教材，地方不同教材的版本不同。学习的时间就不同，我们这边的一元二次方程是在八年级下学期学习的，有的教材是在九年级上学期进行的。一元二次方程是在学习了一元一次方程，二元一次方程组和分式方程以后来学习的。它的解法有直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法4种。

北师大版数学九年级上册 第二章《 一元二次方程 》教案_形式

原标题：北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》教案

学习目标：

1、会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，

2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力

3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。

学习重点：一元二次方程的概念

学习难点：如何把实际问题转化为数学方程

学习过程：

一、导入新课：

二、自学指导：

1、自主学习：

自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：

1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。

阅读课本P48，回答问题：

2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？

2、合作交流：

1.一元二次方程应用举例：

1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?列方程并化成一般形式。

2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

如果设中间的一个数为x，列方程并化成一般形式。

3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?列出方程并化简。

2.知识梳理：

1）一元二次方程的概念：

强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.

一元二次方程的一般形式：在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．

2）几种不同的表示形式：

1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。

2、.当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是关于x的一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?

当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是关于x的一元一次方程

3、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（）

4.化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（）.

5.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0,当k______时，是一元二次方程．,当k_______时，是一元一次方程．

四、课堂小结：

一元二次方程的一般形式：

五、作业：

基础题：课本32页随堂练习1、2，知识技能2

提高题：课本32页知识技能1

板书设计：

一元二次方程的一般形式：

教学反思：

学习目标：

1、探索一元二次方程的解或近似解；

3.通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。

学习重点：探索一元二次方程的解或近似解

学习难点：估算意识和能力的培养．

一、导入新课：

2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

二、自学指导：

1、P31花边问题中方程的一般形式：________________________，你能求出x吗？

1.5

（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流

通过估算求近似解的方法：

先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。

例题1：P31梯子问题

一般形式：______________________

（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？x的整数部分是几？

（4）填表计算：

1.5

十分位是几？照此思路可以估算出x的百分位和千分位。

四、当堂训练：

1、见课本P34页随堂练习

4．用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：

5、用直接开平方法解下列一元二次方程：

五、课堂小结：

本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高

基础题：35页知识技能1

提高题：1.完成基础题；2.课本35页知识技能2，数学理解3

板书设计：

求一元二次方程近似解，首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程

的一般形式ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围，再进一步在这个范围缩小未知数的取值范围，根据需要，估算出一元二次方程的近似解。

教学反思：

学习目标：

3．把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n≥0)的形式，体会转化的数学思想。

学习重点：会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

学习难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n≥0)的形式

学习过程：

一、导入新课：

1．用直接开平方法解下列方程：

利用公式计算：（1）(x＋6)2（2）

注意：它们的常数项等于______________________________。

二、自学指导：

1、自主学习

预习课本36-37页,解方程：x2＋12x－15＝0（配方法）

解：移项，得：________________

配方，得：__________________.（两边同时加上__________的平方）

即：_____________________

开平方，得：_____________________

即：______________________

所以：_________________________

配方法：通过配成_____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

2、合作交流：

配方：填上适当的数，使下列等式成立：

从上可知：常数项配上______________________________.

例1.解方程：x十8x一9＝0.

解：可以把常数项移到方程的右边，得x十8x=9

1.一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）

2．用配方法解下列方程：

五、课堂小结：

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？

六、作业：

1.习题2.3第1.2题.

2.习题2.3第1.2题.

板书设计：

用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

1.移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；

2.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；

教学反思：

学习目标：

1．会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

2．进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．

学习重点：会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

学习难点：理解配方法的解题思路

学习过程：

一、导入新课：

二、自学指导：

1、自主学习

例2：解方程：3x2＋8x―3＝0

解：两边都除以____，得：

移项，得：

配方，得：（方程两边都加上________________的平方）

开平方，得：

所以:

2、合作交流：

归纳：用配方法解一元二次方程的步骤：

1.把二次项系数化为1

2.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；

例1.解方程：x十8x一9＝0.

解：可以把常数项移到方程的右边，得x十8x=9

1.用配方法解下列方程时，配方错误的是（）．

2．用配方法解下列方程：

一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝15t―5t2。小球何时能达到10m高？

五、课堂小结：

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？

六、作业：

基础题：1.习题2.4第1.2题.

提高题：2.习题2.4第3题.

板书设计：

用配方法解一元二次方程的步骤：

1.把二次项系数化为1

2.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；

教学反思：

学习目标：

1.知道一元二次方程的求根公式的推导；

3.认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.

学习重点：

学习难点：

学习过程：

一、导入新课：

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

2、把下列方程化成（x+m）2=n的形式：

3、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少？

二、自学指导：

1、自主学习

认真阅读P41～42页例题之前内容：

注意：当b2－4ac

（2）、公式法：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

2、合作交流：

（2）对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？

归纳：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。

例1.解方程：

解：(2)将原方程化为一般形式，得：

这里a=4，b=-4,c=1.

1.不解方程,判断下列方程的根的情况：

2．用公式法解下列方程：

五、课堂小结：

用公式法解一元二次方程的步骤：

1.化成一般形式；

六、作业：

基础题：1.习题2.5第1、2题.

提高题：2.习题2.5第3、4题.

板书设计：

教学反思：

学习目标：

1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想.

3．会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题

学习重点：

会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解，从而解决实际问题，体会方程模型思想.

学习难点：

会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题.

学习过程：

一、导入新课：

1、用配方法解方程：

2、用公式法解方程：

二、合作探究：

1.在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？

小明：我的设计方案如右图所示，其中

2．小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上

3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

1、课本44页随堂练习1，对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示，你能帮她求出图中的x吗？

四、课堂小结：

1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。

2、一元二次方程的解一般有________个，要根据_________舍去不合题意的解。

五、作业：

基础题：1.习题2.6第1、3题.

提高题：2.习题2.6第4题.

板书设计：

教学反思：

学习目标：

会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。

学习重点：

学习难点：

学习过程：

一、导入新课：

1、如何对一个多项式进行因式分解？有哪些方法？

二、自学指导：

1、自主学习

认真阅读P46～47页内容：

⑴、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

⑵、因式分解法的理论根据是：

⑶、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？其目的是什么？

2、合作交流：

（1）你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗？你是怎么想的？

例.用因式分解法解下列方程：

解：(2)：原方程可变形为

（3）：原方程可变形为

1.用因式分解法解下列方程：

2．用因式分解法解下列方程：

五、课堂小结：

1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

2、用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。

3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：

（1）通过移项，将方程右边化为零：

（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，

六、作业：

1.习题2.7第2题（3）、(4)、(5)题.

1.用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。

2.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：

（1）通过移项，将方程右边化为零：

（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，

板书设计：

学习目标：

1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.

4.能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一根。

学习重点：

学习难点：

学习过程：

一、导入新课：

通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数来决定。求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？今天我们就来一起学习：2.5一元二次方程的根与系数的关系

二、自学指导：

1、解下列方程：

2、根据解方程求出的两个解，计算两个解的和与积，完成下表：

3、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论。

4、对于任何一个二元一次方程，这种关系都成立吗？请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。

例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

解：(1)：这里a=1,b=7,c=6.

例2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。

小明：X1=X2=-

；小华：X1=-3+3，X2=-3-3

五、课堂小结：

1、如果方程ax2+bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根X1，X2，那么

2、应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数，一次项系数，常数项.即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系。

六、作业：

1.习题2.8第1、2题.

板书设计：

学习目标：

1、能用含未知数的代数式表示几何图形中的有关的数量关系。

学习重点：应用一元二次方程解决几何问题。

学习难点：根据几何问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程．

一、导入新课：

复习计算：

1、列方程解应用题的关键是什么？

二、自学指导：

1、如图所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144m2，求小路的宽度.思考：

梯子下滑问题：

（1）当梯子顶端下滑时，梯子低端滑动的距离大于，那么梯子顶端下滑几米时，梯子低端滑动的距离和它相等呢？

（2）如果梯子的长度是，梯子的顶端与地面的垂直距离为，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的低端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

例1、数形结合问题

P52如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）

四、当堂训练：

1、已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲乙各走多远？

2、某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。

板书设计：

1、列方程解应用题的关键

4、本节课解决两类问题：数形结合问题

学习目标：

1、掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤。；

学习重点：应用一元二次方程解决代数问题。

学习难点：根据代数问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程．

一、导入新课：

复习计算：

已知某种商品的销售标价为204元，即使促销降价20%仍有20%的利润，则求该商品的成本价。

二、自学指导：

1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元

思考：你是如何设未知数并列出方程？

某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40-60元范围内，这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

例题1：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？

四、当堂训练：

1、某服装商场将进货价为30元的内衣以50元售出，平均每月能售出300件。经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销售量就将减少10件。为了实现每月8700元的销售利润，并减少库存，尽快回笼资金，这种内衣的售价应定为多少元？这是应进内衣多少件？

2、某礼品店购进一批足球明星卡，平均每天可售出600张，每张盈利0.5元。为了尽快减少库存，老板决定采取适当的降价措施。调查发现，如果每张明星卡降价0.2元，那么平均每天可多售出300张。老板想平均每天盈利300元，每张明星卡应降价多少元？

习题2.10问题解决第1、2题。

板书设计：

常用解决经济问题中的等量关系：

1、每件利润=售价-进价

教学反思：

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责任编辑：

小教白曲区才水就排诗学几年级学一元二次方程

您好，一元二次方程是高中数学的重要内容，一般在高中二年级就开始学习，学习内容包括一元二次方程的概念、解法、判别式粗铅、解的性质等。一元二次方程的解法有四种：利用平方根法、利用一次方程的解法、利用因式分岩告好解法、利用公式友拦法。学习一元二次方程的目的是让学生掌握解决实际问题的能力，从而提高解决实际问题的能力。

初学讲义之高中数学五：二次函数 - 知乎

备注：知乎专栏更新了数理化生四科的基础讲义，更加完善的第二版已经更新，并且附上可以直接下载打印的PDF文档，里面可能还有一些小的笔误，订正后会再更新。

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化学讲义合集：化学基础讲义合集

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心得体会小合集：学习心得体会2021合集下载

物理和生物若急用可以先看知乎专栏里的，PDF文档待更新完善后再放出

下面是正文：

这个方程有两个解法：凑多项式和凑平方

因此：

又因为：

在解方程前，首先用公式判断方程是否有解：

这个方法的优点在于用起来非常快，缺点在于不能用于所有的一元二次方程。

用这种解法需要对数字有一定的敏感性，通常是心算对c进行因式分解，根据b和c的正负号，将其分为和或差为b的两个因子。这种敏感性可以通过大量做题来培养，但并不是必要的。

这个解法是一元二次方程的通用解法，是求根公式、根的判别式的来源。

其原理为：(1)先把常数项c移到等式右边，两边同时除以a得:

(2)再利用和平方的展开公式：

(3)根据二次项系数a和一次项系数求出q=b/2a，因此需要配方的常数项q^{2}=(b/2a)^{2}

然后等式两边同时加上(b/2a)^{2}：

(4)进一步变化为：

(5)因此：

(6)求得：

根据方程的求解公式可以得到：

这两个公式非常容易推导，把两个根相加和相乘就可以，没有必要专门记忆，但是牢记的话会使解一些题目变得方便。

特别的，在判断方程是否有解时，用到(4)的等式：

当b^{2}-4ac＞0时，左边括号里有2种可能，分别为正的和负的，所以有2个解。

一元二次方程的内容就这些，必须要非常熟练地掌握，做到看到方程就自动反应出求根公式并代入数字，对于两个根都是整数的要能马上口算求解。

把一元二次方程=0的那边，换成f(x)就得到了二次函数：

下面是一元二次方程f(x)=x^{2}-x-2的图像，有个直观理解：

为了方便起见，我们要用另一种方式来表示二次函数

它展开就是：

与：f(x)=ax^{2}+bx+c相比较，可以看出p和q的取值分别为：

当a＜0，(x-p)^{2}增大时函数反过来减小，(x-p)^{2}减小时函数反过来增大

现在证明：f(x)=a(x-p)^{2}+q，当a＞0时，在(p,+∞）是递增的

练习一：请证明当a＜0时，f(x)在(-∞，p)是递增的，在(p,+∞)是递减的

当a＞0时，由于函数在（-∞，p）递减，在（p，+∞）递增。可以得知，x=p时，是函数的最小值为q

当a＜0时，由于函数在（-∞，p）递增，在（p，+∞）递减。可以得知，x=p时，是函数的最大值为q

现在来看个具体例子：

首先：

因此可以从图上看出，x=2是这两个函数图像增减性的分割线

还可以从图上看出：

f(x)的a=2，它的开口是向上的，(x-2)^{2}递增时函数值也递增，(x-2)^{2}递减时函数值也递减，f(x)在x=2时是它的最小值，f(2)=3

g(x)的a=-2，它的开口是向下的，(x-2)^{2}递增时函数值反过来递减，(x-2)^{2}递减时函数值反过来递增，f(x)在x=2时是它的最大值，f(2)=3

从感性上也很好理解，前面多了个负号，绝对值越大，值越小。

练习二：请求解下列函数的单调区间

对二次函数：f(x)=a(x-p)^{2}+q

当p=0时，函数为：f(x)=ax^{2}+q，它的对称轴是x=0（即y轴），是偶函数。

证明很简单：对任意的x，f(-x)=a(-x)^{2}+q=a(x)^{2}+q=f(x)，得证。

一般的，二次函数：f(x)=a(x-p)^{2}+q都有对称轴x=p，函数图像关于直线x=p镜面对称

也就是说任取一对数字u_{1}和u_{2}只要p=(u_{1}+u_{2})/2（p是u_{1}和u_{2}的中点），都有

证明如下：f(u_{1})=a[u_{1}-(u_{1}+u_{2})/2]^{2}+q=a[(u_{1}-u_{2})/2]^{2}+q

我们来比较几个函数：

f(x)是最基本的二次函数，我实在想不出比它更简单的了。当x＜0时它递减，当x＞0时它递增。它取最小值的点为(0,0)（原点），它的对称轴为x=0（y轴）。

g(x)比f(x)稍微复杂了些。当x＜p时它递减，当x＞p时它递增。它取最小值的点为(p,0)，它的对称轴为x=p。

h(x)也比f(x)稍微复杂了些。当x＜0时它递减，当x＞0时它递增。它取最小值的点为(0,q)，它的对称轴为x=0（y轴）。

i(x)来到我们二次函数的普遍形式了（可能需要从f(x)=ax^{2}+bx+c变换形式过来）。当x＜p时它递减，当x＞p时它递增。它取最小值的点为(p,q)，它的对称轴为x=p。

也就是说，对任意某个x（也就是所有的x）它在f(x)对应的值，和x+p在g(x)对应的值是相同的

不仅仅是二次函数，实际上对所有的函数，只要x和x-p都在其定义域内，则f(x-p)就是把函数向右平移了p个单位。

比如对函数f(x)=ax^{2}+bx+c，把它向右平移p个单位就是：

如果p是负的，那么就是向右边的反方向移动，即向左移。

对任意某个x（也就是所有的x）它在f(x)对应的值，再加上q，就得到了这个x在h(x)对应的值

要注意的是，这里是在f(x)后面单独、孤零零地加上了q，不要影响到f(x)本身里的元素

如果q是负的，就是向上边的反方向移动，即向下移。

函数y=(x-p)^{2}+q也可以写成：

也就是说，把x变成x-p就是向右平移p个单位，把y变成y-q就是向上平移某个单位.

如果p、q是负数，就是反方向。（也可以说：把x变成x+p就是向左平移p个单位，把y变成y+q就是向下平移某个单位）

上述情况中二次项的系数都是1，我们没有考虑过a变化的情况，因为没什么值得讨论的。

在（一）单调性中已经讨论过a的正负对函数的影响，a＞0开口向上，a＜0开口向下。

现在我们以具体的函数为例，看看它们的图像：

单独看黑色和红色：把黑色向右平移2个单位后到达红色的位置。

单独看黑色和绿色：把黑色向上平移3个单位后到达绿色的位置。

单独看红色和蓝色：把红色向上平移3个单位后到达蓝色的位置。

单独看绿色和蓝色：把绿色向右平移2个单位后到达蓝色的位置。

单独看黑色和蓝色：把黑色向右平移2个单位、向上平移3个单位后到达蓝色的位置。

红色：f(x)=x^{2}绿色：f(x)=4x^{2}蓝色：f(x)=8x^{2}

粉色：f(x)=-x^{2}草色：f(x)=-4x^{2}紫色：f(x)=-8x^{2}

先来简单的：与y轴的交点

二次函数必然与y轴有交点，代入x=0，（0，f(0)）就是与y轴的交点。

下面复杂的：与x轴的交点

当a=0时，就是常数函数了，严谨起见，要在此专门提及，做题时也要记得。

下面是几个具体函数图像的实例：

左图红色：f(x)=(x-1)^{2}+3绿色：f(x)=(x-1)^{2}蓝色：f(x)=(x-1)^{2}-3

右图粉色：f(x)=-(x-1)^{2}+3草色：f(x)=-(x-1)^{2}紫色：f(x)=-(x-1)^{2}-3

用根的判别式：

当b^{2}-4ac＞0时，方程有2个解，即有2个交点：

当b^{2}-4ac=0时，方程有1个解，即有1个交点：(-b/a，0）

二次函数的内容比较少也比较简单，但是需要一定量的练习来加深印象提高效率。

二次函数是非常基本非常简单的内容，这里涉及到的全部公式和模式都要烂熟于心，用起来毫不吃力。

后面学到更新的内容和更复杂的情况，如果二次函数部分还需要费力思考，是不能解决复杂问题的。

推导一元二次方程求根公式的“强行凑平方”的思路要认真研究。

“强行凑”成各种标准形式的思路未来学习中还会用到，也是解题中常用的方法。

函数的上下左右平移也要熟悉掌握，在函数和解析几何（圆锥曲线）中是非常重要的部分。

熟练掌握函数的平移，可以帮助把很多看上去很复杂的解析几何（圆锥曲线）简化得很普通。

一次和二次函数在小学初中都有方程铺垫，指数对数是全新的内容，需要更多的努力去理解。

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