期权定价的常用数值方法

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转载|jiang的金融窝

作者|jiang

这是一个老题目了，希望在这里对所有的数值方法进行一个梳理。按照我个人的分类，期权定价的数值方法分为五个大类：解析解方法，树方法，偏微分方程数值解方法，蒙特卡洛方法，傅立叶变换方法。

一个期权定价问题，其实就是根据已知的随机微分方程（SDE）模型，然后来求解关于这个随机过程函数表达式的过程。这也是为什么随机微积分和Itolemma会是金融工程的核心知识之一，因为Ito直接告诉了我们一个随机过程的函数所满足的新SDE：

然后，如果我们可以求出这个SDE的解析解，那么一个欧式无路径依赖期权的价格就是它在终值时刻折现的期望值。这就是一种期权定价的解析解方法，当然你也可以利用PDE来求解，由于FeynmanKac定理的存在，PDE和条件期望的答案会是一致的。而这类方法的优点是显而易见的，一旦解析解存在，那么期权的价格公式计算速度就会非常之快，不论做拟合还是优化都会有效率上质的提升，而这类方法的缺点也很明显，那就是，对于大部分模型和大部分奇异期权，解析解未必存在。

之所以叫树方法而不叫二叉树，是因为我们也将讨论三叉树模型，但其实本质思想是一模一样的。如果告知你了一个标的资产的波动率，那么你可以通过下述式子构造一个N段的二叉树的上下波动：然后利用逆推，来得到初始时刻的期权价格。那么三叉树呢？首先要明白一个道理，除了满足了下列条件的三叉树模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)

其余的三叉树都是incompletemarket。在其余的树模型下，我们只能做到super-replicate，而不能完成perfecthedge。而这独有的一种三叉树模型，也成为了最常用的树模型之一。或许有人好奇为什么有二叉树了，还有人使用更麻烦的三叉树。这是因为三叉树的收敛速度要高于二叉树。

那么树模型的优缺点又是什么呢？树模型有一个任何连续时间模型都无法取代的优点，那就是每一个定价，在树模型里，不论美式、欧式、路径依赖、奇异，通过BackwardInductionPrinciple得到价格，永远都是伴随着显式对冲策略的。而在连续时间模型里，想获得连续时间对冲策略的这类问题，是一个倒向随机微分方程（BSDE）问题，有很多时候并不是那么好解决的，尤其是当期权有奇异或美式属性的时候。另一方面，树模型缺点也显而易见，高维度问题树模型是不能解决的，所以对于多个标的资产的问题，尤其是具有相关系数的资产，我们只能诉之于他法。而从速度上来讲，树模型的收敛速度是要低于PDE方法的。

很多对于quantitativefinance陌生的人也会听说过BlackScholesPDE。而实际上，不同的随机模型，都会对应不同的PDE。BSPDE只不过是单资产符合几何布朗运动随机模型的PDE表达罢了。因为对于期权，我们往往知晓它最终到期日的payoff，所以我们用payoff函数来作为这个PDE的终值条件。如果PDE存在解析解，最优办法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我们就必须诉诸数值方法。最常用的数值解方法就是有限差分，也就是将所有变量构造一个网格，然后利用网格上的差分方法来估计偏导数，进而将PDE问题转化为代数问题。而对于期权定价的PDE，我们会根据期权的性质，获得这个PDE终值条件和边值条件。然而，有时候根据不同的模型，我们可能得到的并不是一个简单的PDE，而可能是PIDE（partialintegraldifferentialequation），也就是在PDE中多了积分项，这时候，我们需要同时再借助数值积分来完成数值计算。PDE的数值问题自然还有很多的选择，有限元、谱方法都在列。但期权定价PDE本身并不像很多物理PDE有很大的非线性程度，边界也并没有那么奇怪，所以基本上有限差分是可以解决绝大部分问题的。有限差分法分三种：显式差分，隐式差分，交错差分。我们不深入研究算法，但几个点就是：稳定性上，显式差分是条件稳定的，另外两种都是无条件稳定；计算复杂度上，显示最简单，隐式次之，交错最繁琐；精确性上，显式、隐式是同阶的，交错差分的特殊情形，显式和隐式各占一半时，也就是Crank-Nicolson差分，精度会在时间上也上升一阶。另外，在期权定价中PDE有两大类，正向和倒向。传统的BSPDE就是倒向的一个典型例子，它的终值条件就是期权的payofffunction。而一个倒向PDE所对应的正向PDE，它不再是期权价格满足的PDE，而是这个标的的“价格密度”所满足的PDE。这个“价格密度”被称为Stateprice，或者ArrowDebreuprice，抑或是Greenfunction。而这个在我之前的一篇文章有介绍过，知乎链接是：https://zhuanlan.zhihu.com/p/21378441?refer=quantjiang

而PDE方法的缺点主要有两点：路径依赖问题，高维度问题。很多路径依赖问题的PDE形式是很麻烦，甚至无法表达的，比如亚氏期权，比如回望期权。而对于高维度问题，如果PDE的数值方法会从平面网格上升到空间网格，在复杂度上不但繁琐，而且在边值条件上更难以控制。而PDE的优点则是速度快，而且根据差分的数值方法，在计算Greeks的时候不需要加以再次的bumping计算。举个例子，如果不降维，一个具有两个assets的期权的有限差分就是这样的一个立方网格：

蒙特卡洛方法是目前应用范围最广泛的方法了。因为不存在提前行权属性的期权价格其实就是一个期望，所以我们就可以通过模拟很多的路径，来用平均数估计真实期望。而美式或百慕大这种具有提前行权属性的期权，它的期权价格其实是一个随机优化问题。这类问题我们可以采用regression-basedMonteCarlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression来估计conditionalNPV，然后再用蒙特卡洛求解当前价值。所以说，蒙特卡洛方法是最为general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺点也是显而易见：因为要模拟上百万条路径，而且对于奇异期权还要做路径上的计算，美式更要做回归，蒙特卡洛方法成为了计算时间长的代名词。但幸运的是，我们有三种提速的方法：1，利用方差缩减，在保证方差恒定的基础上，可以减少模拟路径；2，利用Multi-level蒙特卡洛，减少complexity；3，利用GPU或超级计算机，进行并行计算。对于普通蒙特卡洛方法，上述三种方法都是可行的，而且GPU的提速是非常显著的。对于方差缩减，得强调一点的就是，一般而言，最简单的方式是对偶变量，其次是控制变量，然后是利用条件期望，最难的是importancesampling，而在效果和适用范围上，它们的排序往往是刚好相反的。比如美式期权的最小二乘蒙特卡洛，方差缩减的最有效手法就是importantsampling，其他方法的效果很小。这里另外再着重强调一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模拟标的路径；其次，倒向在每个时间节点，对所有路径值进行回归，估算条件期望，直到初始时间点；最后，求平均。所以值得注意的一点就是，在这里，如果单纯使用GPUcluster进行提速，效果并不是很理想，因为路径模拟并不是最消耗时间的步骤，对所有路径回归才是。虽然如此，但其实还是可以用GPUcluster来对回归精度加以提升，比如可以将路径进行归类，然后将globalregressor转换成多个localregressor。总的来说，蒙特卡洛方法是期权定价中适用范围最广的数值方法，但也是最慢的方法。然而，我们可以利用方差缩减、复杂度缩减，以及GPU计算来优化我们的蒙特卡洛算法，达到提速与增加精确性的目的。

傅立叶方法也被称为特征函数法，利用的就是对于很多的模型，它们的特征函数往往是显式表达的，比如靠具有independentincrement的infinitelydivisibleprocess来决定的模型，因为在这样的情况下，我们有Levy-Khintchinerepresentation，很多拟合性质很好的过程，比如VarianceGamma，NormalInverseGaussian都属于这一类。而特征函数实际上可以看作是一个随机变量的傅立叶变换，这也就是这个名字的由来。如果我们有显式表达的特征函数，我们可以通过傅立叶逆变换来得到原随机变量的密度，进而达到求解期权价格的目的。一般来讲，这样的方法要比PDE方法更加快速，因为数值积分的速度要比微分方程数值解的速度要快。然而，这类方法的缺陷也是显而易见的，路径依赖性和维度问题，以及我们必须要有显式表达的特征函数。

A股期权行权价怎么定？

回答如下：A股期权的行权价是由交易所根据市场需求和标的资产的价格等因素确定的。一般来说，交易所会根据标的资产的市场价格和波动性等因素，设定一系列的行权价，以满足不同投资者的需求。

在确定行权价时，通常会考虑以下几个因素：

1. 标的资产的市场价格：行权价应该与标的资产的当前市场价格有一定的关联性，以确保期权的实际价值。

2. 标的资产的波动性：行权价的选择应考虑标的资产的预期波动性，以保证期权的实际价值与标的资产的波动性相匹配。

3. 市场需求和参与者的投资策略：交易所会根据市场需求和参与者的投资策略，设定一系列不同的行权价，以满足不同投资者的需求。

总的来说，行权价的确定是一个综合考虑市场价格、波动性和投资者需求等因素的过程，交易所会通过市场调研和参与者的反馈等方式，不断优化和调整行权价的设定。

常用的期权定价方法有哪些？

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期权合约及其标的资产在价格变动呈现非线性关系，通过无套利原理可以推导出期权的公允价格，但却不能像期货合约那样简单地通过标的资产的价格贴现来计算，因此期权的定价也远比期货复杂。

本文简要介绍影响期权价格的各种注意因素，以及一些常用的期权定价方法。

01

影响期权价格的因素

影响期权价格的基本因素主要包括：标的资产的价格、行权价格、标的资产价格的波动率、到期时间、无风险利率等。分析期权价格的影响因素可以帮助我们更好地判断期权价格的变动预期。

期权的价格由内在价值和时间价值组成。

期权的内在价值是指期权持有者立即行使该期权合约所赋予的权利时所能获得的收益。

期权的时间价值是指期权购买者为购买期权而实际付出的权利金减去该期权的内在价值的那部分价值。

在除标的资产价格以外的其他因素不变的情况下，如果时间价值相同，此时价格由内在价值决定。标的资产价格越高，看涨期权的内在价值越大，期权的价格从而越高，看跌期权的内在价值会越小，期权价格会越低。在除行权价格以外的其他因素不变的情况下，行权价格越高，看涨期权的内在价值越小、价格越低，而看跌期权的内在价值越大、价格越高。价格波动率衡量标的资产价格的波动程度，它是期权定价模型中最重要的变量。

在其他条件不变的情况下，标的资产价格的波动增加了期权向实值方向转化的可能性，因此期权的价格会增加。除了上面列出的几个因素，还有其他一些因素会对期权的价值产生影响，例如无风险利率、标的股票的分红率、距离到期日的时间长度等。

结合上面的内容，总结各因素对期权价格的效应，具体如下表（这里“+”表示正相关，“-”表示负相关）。

表为影响期权价格的因素汇总表

02

Black-Scholes定价模型

通常Black-Scholes模型中有如下假设：

① 股票价格遵循几何布朗运动；

② 市场不存在摩擦，即金融市场没有交易成本或税收，所有证券连续可分；

③ 在期权合约的有效期内标的没有红利支付；

④ 无风险利率为常数，且对所有期限均相同；

⑤ 市场不存在无风险套利机会；

⑥ 能够卖空标的资产；

⑦ 证券交易是连续的。

Black-Scholes模型是基于无套利原理，该原理简单来讲就是市场上不存在无风险套利机会：任何两项资产，如果它们在未来任意时刻的现金流都相等，那么它们的当前价格必然是相等的。

03

二叉树定价模型

Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点，但是它的推导过程却较难直观地为普通人所理解并接受。

在1979年，Cox、Ross和Rubinstein等人使用一种比较直观的方法设计出一种期权的定价模型，称为二叉树法（BinomialTree）。

该模型不仅可用于计算欧式期权的价格，还可用于计算美式期权的价值。此外，该模型也比较直观简单，不需要太复杂的高等数学知识就可以加以应用。二叉树期权定价模型和Black-Scholes期权定价模型，是两种相互补充的方法。

二叉树期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。

二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。

虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而该模型适用于处理更为复杂的期权。

04

蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟是一种通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法，也是一种应用十分广泛的期权定价方法。蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理，其基本思路是：由于大部分期权价值实际上可以归结为期权到期回报（pay-off）的期望值的贴现。

因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，然后计算每种路径结果下的期权回报均值，最后进行贴现就可以得到期权价格。

-END-

来源：国泰君安期货

风险提示

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1976年，（）通过对期货期权定价模型的研究发现，期货期权定价和连续支付红利率为r的股票期来自权定价方法类似...

正确答案：Dl976年，费希尔?布莱克研究了期货期权定价模型。研究发现，期货价格行为类似于红利率等于r的股票价格的行为，因此，期货期权定价和连续支付红利率为r的股票期权定价方法类似。

下列关于期权定价方法的表述中,来自不正确的是()。

C解析：正确C在二叉树模型下,不同的期数划分,可以得到不同的结果,并且期数越多,期权价值越接近实际。

非上市公司的股票期权如何定价

很麻烦啊，有时间再来吧。有很多种，常用的：B-S定价模型，，二项式定价模型。这些都有实例，但是都是很理性的，会有很多假设，还有很复杂的计算过程，就这2个模型，就有很多书，有专门讲这两个模型的。数学功底要好~

毕苏期权定价模式

毕苏期权定价模式是一个参照模型，也叫B-S定价模式，是指如果某权证的价格偏离了该模型的计算值，就有无风险套利的机会。一、毕苏期权定价模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=ln(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。二、期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274。

中国银行个人期权宝期权报价方式？

（一）期权费标价方式1、外汇期权宝：美元货币对按照每单位基础货币一定美元百分比的方式标价；交叉盘货币对按照基础货币百分比的方式标价。（1）例：EURUSD期权报价为“1.2”，期权面值为10000欧元，由此计算出的期权费金额为，10000欧元*1.2/100=120美元（2）例：EURJPY期权报价为“2.5”，期权面值为10000欧元，由此计算出的期权费金额为，10000*2.5/100=250欧元2、贵金属期权宝：按照每盎司账户贵金属一定金额美元的方式标价。（1）例：XAUUSD期权报价为“15”，期权面值为100盎司黄金，由此计算出的期权费金额为，100*15=1500美元如有疑问，请继续咨询

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四种期权定价方法

在世界大多数证券市场上，有一种期权(option)的交易。例如，某种股票的现价为S=42美元，该股票的年波动率s=20%，市场的无风险年利率r=10%；若客户希望拥有在六个月即0.5年后以约定价格X=40（美元）购进这种股票的权利，而且届时他也可以放弃这种权利。

试问：为拥有这种购买的选择权，客户该付多少钱?换言之，这种期权的价格为多少？

简单分析：股票的现价为S（42美元），由于股票价格的波动率，到期时价格可能上扬为Su，也可能下跌为Sd.为简单计，暂且假定涨跌幅均为10％，则有u=1+10％=1.1，d=1-10％＝0.9。

显然前一情况客户会执行期权，后一情况会放弃期权期权价格在期满T时，期权价格为：

VT = max(ST-X，0)

在股票价格为$46.2时，客户必定以敲定价格$40购进股票。这时期权的价格应为：

Vu=Su-X=46.2-40=6.2(美元)

在股票价格为$37.8时，客户必定放弃这约定的股票购买权，这时期权的价格应为

Vd=0(美元)

基本思路是套期保值，即交易者为减少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略。假定现在套利者卖出一份股票期权，价格为V，再以价格S买进份这种股票，那么该组合的价格为:

Π=αS-V

组合的目的是使之不具有风险，从而可获得无风险利率，那么在期权期满日，组合增值后的价值为:

其中r为无风险利率。

另一方面，如前面分析，这组合的在期权满日价格

在风险中性世界里：

（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；

（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。

股票价格的期望值：

假如投资者对有无风险无差异

Eg.示例股票现价为42美元，下一期（6个月后）价格可能是46.2美元或者37.8美元，无风险利率为10%。假设投资者都是风险中性，问一份施权价为40美元的股票期权现在价值多少？

答案：投资者是风险中性意味着：

          46.2p+37.8(1-p)＝42e0.1×0.5

          p＝0.7564

从而期权的即期价格为：

         V＝E(VT)×e-rT

         V＝(0.7564×6.2＋0.2436×0)×e-0.1×0.5

          ＝4.46

在简单分析中。有一个显然的问题，例子中到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅10％的假定都是很粗略的

事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们将T分为很多小的时间间隔△t，而在每一个△t，股票价格变化由S到Su或Sd。若价格上扬的概率为p，那么下跌的概率为1-p。

1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。         

1.股票价格的对数服从普通布朗运动，股票价格和连续复利收益率服从对数正态分布。

实物期权的三种定价模型

二叉树定价模型，蒙地卡罗模拟法，B-S模型。具体看我给你的参考资料。。。